Question

已知將函數y=cos²

x

2

-sin²

x

2

+2

3

sin

x

2

cos

x

2

的圖象上所有點向左平移

π

6

個單位，再把所得的圖象上所有點得橫坐標變為原來的

1

2

倍（縱坐標不變），得到函數f（x）的圖象．
（I）求函數f（x）的表達式及f（x）的最小正周期；
（II）求f（x）的單調遞減區間及f（x）在區間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）由三角函數的運算公式可得：y=2sin（x+

π

6

），由圖象變換的知識可得f（x）=2sin（2x+

π

3

），進而可得周期；
（II）由整體法可得函數的單調區間，進而可得函數在區間[0，

π

2

]的最值．

解答：解：（I）由三角函數的運算公式可得：y=cos²

x

2

-sin²

x

2

+2

3

sin

x

2

cos

x

2

=cosx+

3

sinx=2（

1

2

cosx+

3

2

sinx）=2sin（x+

π

6

），
由圖象變換的知識可得將上述函數圖象向左平移

π

6

個單位，橫坐標變為原來的

1

2

倍（縱坐標不變），
所得函數為：f（x）=2sin（2x+

π

3

），故其周期為：T=

2π

2

=π；
（II）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，得f（x）=2sin（2x+

π

3

）的遞減區間為：
[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]（k∈Z），又∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
所以當x=

π

2

時，f（x）取得最小值-

3

，當x=

π

12

時，f（x）取得最大值2

點評：本題考查三角函數的運算和圖象變換，涉及區間最值的求解，屬中檔題．