Question

給出下列結論．
①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；
②將函數y=cos(

3π

2

+x)的圖象上每個點的橫坐標縮短為原來的

1

2

（縱坐標不變），再向左平行移動

π

4

個單位長度變為函數y=sin(2x+

π

4

)的圖象；
③已知ξ～N（16，σ²），若P（ξ＞17）=0.35，則P（15＜ξ＜16）=0.15；
④已知函數f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），則a+2b的取值范圍是(2

2

，+∞)；
其中真命題的序號是

①③

（把所有真命題的序號都填上）．

Answer 1

分析：①直接把語句進行否定即可，注意否定時?對應?，＞對應≤．
②先進行ω伸縮變換，再根據左加右減的性質先左右平移即可得到答案．
③根據隨機變量ξ服從標準正態分布N（16，σ²），得到正態曲線關于ξ=16對稱，得到變量小于15的概率，這樣要求的概率是用0.5減去P（ξ＞17）的值即得．
④畫出函數f（x）的圖象，則數形結合可知0＜a＜1，b＞1，且ab=1，再將所求a+2b化為關于a的一元函數，利用函數單調性求函數的值域即可．

解答：解：①根據題意我們直接對語句進行否定，
命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；正確．
②：由y=cos(

3π

2

+x)=sinx的圖象上每個點的橫坐標縮短為原來的

1

2

（縱坐標不變），得到y=sin2x，
再向左平行移動

π

4

個單位長度變為函數y=sin2（x+

π

4

）=sin（2x+

π

2

）．
故不正確．
③：∵隨機變量ξ服從標準正態分布N（16，σ²），
∴正態曲線關于ξ=16對稱，
∵P（ξ＞17）=0.35
若P（ξ＜15）=0.35，
則P（15＜ξ＜16）=0.5-0.35=0.15，正確；
④：畫出y=|lgx|的圖象如圖：
∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），
∴|lga|=|lgb|且0＜a＜1，b＞1
∴-lga=lgb
即ab=1
∴y=a+2b=a+

2

a

，a∈（0，1）
∵y=a+

2

a

在（0，1）上為減函數，
∴y＞1+2=3
∴a+2b的取值范圍是（3，+∞），故不正確．
故答案為：①③

點評：本題考查函數的變換，函數的單調性，特稱命題，正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查學生分析問題解決問題的能力，是基礎題．