Question

【題目】已知函數是上的偶函數．

（1）求實數的值；

（2）判斷并證明函數在上單調性；

（3）求函數在上的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）最大值為1，最小值為.

【解析】試題分析：（1）依據偶函數的定義建立方程求出實數的值；（2）先判斷其單調性，然后再運用單調性的定義及差比法進行推理和證明；（3）借助（2）中的單調性及函數的對稱性進行推斷和探求最大、小值。

試題解析：

（1）若函數是上的偶函數，則，

即，對任意實數恒成立，解得.

（2）由（1）得：，

函數在上為增函數，下證明：

設任意且，即

則

∵且，

∴，即，

于是函數在上為增函數.

（3）由（2）知，函數在上為增函數，

又是偶函數，則在上為減函數，

又，，，

所以的最大值為1，最小值為．