Question

【題目】若數列共有k項，且同時滿足，，則稱數列為數列.

（1）若等比數列為數列，求的值；

（2）已知為給定的正整數，且，

①若公差為的等差數列是數列，求公差d；

②若數列的通項公式為，其中常數，判斷數列是否為數列，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②不是，詳見解析

【解析】

（1）根據新定義結合等比數列即可求出的值；

（2）①設等差數列的公差為，根據新定義以及等差數列的性質即可求出公差的值；②若數列是數列，根據新定義，對的值分奇數和偶數兩種情況討論，即可判斷出數列是否為數列.

（1）設等比數列的公比為，

∵數列為數列，∴，

∴，即，

∴，

又∵，∴，解得；

（2））①設等差數列的公差為，

∵數列是數列，

∴，即，

∵，∴，

∴，即，

又∵，且，

∴，

即，解得，

∴等差數列的公差為得；

②若數列是數列，則有：，，

∵，且，

∴（*），

（**），

當為偶數時，在（*）中，，，所以（*）不成立，

當m為奇數時，由（*）+（**）得：，

又∵，∴，解得，

∵為奇數，∴，

∴，整理得：，即，與矛盾，

綜上可知，數列不是數列.