Question

已知曲線C的方程是(t＋1)＋2at)x＋3at＋b＝0，直線l的

方程是y＝t(x－1)，若對任意實數t，曲線C恒過定點P(1，0)．

(1)求定值a，b；

(2)直線l截曲線C所得弦長為d，記f(t)＝，則當t為何值時，f(t)有最大值，最大值是多少？

(3)若點M()在曲線C上，又在直線l上，求的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解:(1)∵曲線C恒過定點P(1，0)，∴(t＋1)－2(＋2at)＋3at＋b＝0恒成立，即(1－a)t＋1－＋b＝0恒成立， ∴a＝1，b＝1． 　　(2)由(1)知曲線C為：(t＋1)－2(1＋2t)x＋3t＋1＝0， 以y＝t(x－1)代入得(＋t＋1)－＋3t＋1＝0(*)， ∴＝1，，∴d＝， ∴f(t)＝．(t≠0，否則y＝0，f(t)＝0) 當t＞0時，|t＋＋1|＝t＋＋1≥3，這時f(t)≤； 當t＜0時，t＋≤－2，t＋＋1≤－1，|t＋＋1|≥1，這時f(t)≤2，(t＝－1時取等號)． 綜上討論：＝2，這時t＝－1． 　　(3)由題設知是方程(*)的解，∴＝1或， 當(－1)－1＝0，≠1時必須有Δ＝＝≤0．∴