Question

已知，曲線上任意一點分別與點、連線的斜率的乘積為．
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）設直線與軸、軸分別交于、兩點，若曲線與直線沒有公共點，求證：．

Answer 1

（Ⅰ），．
（Ⅱ）由得，利用曲線與直線沒有公共點，，得到，利用，，及均值定理確定
，
從而證得． 

解析試題分析：（Ⅰ）設曲線上任意一點的坐標為．利用依題意點分別與點、連線的斜率的乘積為，轉化成代數式，整理可得．
（Ⅱ）由得，利用曲線與直線沒有公共點，，得到，利用，，及均值定理確定
，
從而證得． 
試題解析：（Ⅰ）設曲線上任意一點的坐標為．
依題意，且，     ３分
整理得．所以，曲線的方程為：，．   5分
（Ⅱ）由得，
，        7分
由已知條件可知，，所以
，
從而，　　　即．                 13分
考點：1、求軌跡方程，2、直線與橢圓的位置關系，3、均值定理的應用.