Question

如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，SD⊥底面ABCD，AD=

2

，DC=SD=2，點(diǎn)M在側(cè)棱SC上，∠ABM=60°
（I）證明：M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)；
（2）求二面角S-AM-B的大小．

Answer 1

分析：（1）法一：要證明M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，連ME、NB，則MN⊥面ABCD，ME⊥AB，NE=AD=

2

設(shè)MN=x，則NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，進(jìn)而得到M為側(cè)棱SC的中點(diǎn)；
法二：分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，并求出S點(diǎn)的坐標(biāo)、C點(diǎn)的坐標(biāo)和M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)中點(diǎn)公式進(jìn)行判斷；
法三：分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，構(gòu)造空間向量，然后數(shù)乘向量的方法來證明．
（2）我們可以以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，我們可以利用向量法求二面角S-AM-B的大小．

解答：證明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，
連ME、NB，則MN⊥面ABCD，ME⊥AB，NE=AD=

2

設(shè)MN=x，則NC=EB=x，
在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴ME=

3

x．
在RT△MNE中由ME²=NE²+MN²∴3x²=x²+2
解得x=1，從而MN=

1

2

SD∴M為側(cè)棱SC的中點(diǎn)M．
（Ⅰ）證法二：分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則A(

2

，0，0)，B(

2

，2，0)，C(0，0，2)，S(0，0，2)．
設(shè)M（0，a，b）（a＞0，b＞0），
則

BA

=(0，-2，0)，

BM

=(-

2

，a-2，b)，

SM

=(0，a，b-2)，

SC

=(0，2，-2)，
由題得

cos＜ BA BM ＞= 1 2 SM ∥ SC

，
即

-2(a-2) 2• (a-2)2+b2+2 = 1 2 -2a=2(b-2)

解之個(gè)方程組得a=1，b=1即M（0，1，1）
所以M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)．

（I）證法三：設(shè)

SM

=λ

MC

，
則M(0，

2λ

1+λ

，

2

1+λ

)，

MB

=(

2

，

2

1+λ

，

-2

1+λ

)
又

AB

=(0，2，0)，＜

MB

，

AB

＞=60o
故

MB

•

AB

=|

MB

|•|

AB

|cos60o，
即

4

1+λ

=

2+( 2 1+λ )2+( 2 1+λ )2

，
解得λ=1，所以M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得M(0，1，1)，

MA

=(

2

，-1，-1)，
又

AS

=(-

2

，0，2)，

AB

=(0，2，0)，
設(shè)

n1

=(x1，y1，z1)，

n2

=(x2，y2，z2)分別是平面SAM、MAB的法向量，
則

n1 • MA =0 n1 • AS =0

且

n2 • MA =0 n2 • AB =0

，
即

2 x1-y1-z1=0 - 2 x1+2z1=0

且

2 x2-y2-z2=0 2y2=0

分別令x1=x2=

2

得z₁=1，y₁=1，y₂=0，z₂=2，
即

n1

=(

2

，1，1)，

n2

=(

2

，0，2)，
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

2+0+2

2• 6

=

6

3

二面角S-AM-B的大小π-arccos

6

3

．

點(diǎn)評：空間兩條直線夾角的余弦值等于他們方向向量夾角余弦值的絕對值；
空間直線與平面夾角的余弦值等于直線的方向向量與平面的法向量夾角的正弦值；
空間銳二面角的余弦值等于他的兩個(gè)半平面方向向量夾角余弦值的絕對值；