Question

如圖，四棱錐S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上的一點，平面EDC⊥平面SBC．
（Ⅰ）證明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接BD，取DC的中點G，連接BG，作BK⊥EC，K為垂足，根據線面垂直的判定定理可知DE⊥平面SBC，然后分別求出SE與EB的長，從而得到結論；
（Ⅱ）根據邊長的關系可知△ADE為等腰三角形，取ED中點F，連接AF，連接FG，根據二面角平面角的定義可知∠AFG是二面角A-DE-C的平面角，然后在三角形AGF中求出二面角A-DE-C的大小．

解答：解：（Ⅰ）連接BD，取DC的中點G，連接BG，
由此知DG=GC=BG=1，即△DBC為直角三角形，故BC⊥BD．
又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，
所以，BC⊥平面BDS，BC⊥DE．
作BK⊥EC，K為垂足，因平面EDC⊥平面SBC，
故BK⊥平面EDC，BK⊥DE，DE與平面SBC內的兩條相交直線BK、BC都垂直，
DE⊥平面SBC，DE⊥EC，DE⊥SD．
SB=

SD2+DB2

=

6

，
DE=

SD?DB

SB

=

2

3

EB=

DB2-DE2

=

6

3

，SE=SB-EB=

2 6

3

所以SE=2EB
（Ⅱ）由SA=

SD2+AD2

=

5

，AB=1，SE=2EB，AB⊥SA，知
AE=

( 1 3 SA)2+( 2 3 AB)2

=1，又AD=1．
故△ADE為等腰三角形．
取ED中點F，連接AF，則AF⊥DE，AF=

AD2-DF2

=

6

3

．
連接FG，則FG∥EC，FG⊥DE．
所以，∠AFG是二面角A-DE-C的平面角．
連接AG，AG=

2

，FG=

DG2-DF2

=

6

3

，
cos∠AFG=

AF2+FG2-AG2

2?AF?FG

=-

1

2

，
所以，二面角A-DE-C的大小為120°．

點評：本題主要考查了與二面角有關的立體幾何綜合題，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．