Question

【題目】已知x1，x2∈.

求證：tan x1＋tan x2＞2tan.

Answer 1

【答案】證明見解析。

【解析】

利用數(shù)形結(jié)合得出tan x1，tan x2，用線段來(lái)表示，再利用角平分線定理得出不等關(guān)系.

不妨設(shè)x2＞x1.在單位圓中，過點(diǎn)A作單位圓的切線AT，在AT上取B，C兩點(diǎn)，使∠BOA＝x1，∠COA＝x2，取∠DOA＝，E為BC的中點(diǎn)．

∵x 1，x2∈，

∴|OC|＞|OB|，|AB|＝tan x1，|AC|＝tan x2，

|AD|＝tan.

易得OD是∠BOC的平分線，由三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)，得＝.

∴＜1，即|BD|＜|DC|.

∴|BE|＞|BD|，|AE|＞|AD|.

∵|AE|＝(|AB|＋|AC|)，

∴ (tan x1＋tan x2)＞tan，

即tan x1＋tan x2＞2tan.