Question

設數列前項和為，點均在函數圖象上。
（1）求數列的通項公式；
（2）設，是數列的前項和，求使得對所有都成立的最小正整數。

Answer 1

(1) a_n＝6n－5 （）
(2) 10.

解：（1）設這二次函數f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,則 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得a="3" ,  b=－2, 所以 f(x)＝3x²－2x.
又因為點均在函數的圖像上，所以＝3n²－2n.
當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝（3n²－2n）－＝6n－5.
當n＝1時，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 （）
（2）由（1）得知＝＝，
故T_n＝＝＝（1－）.
因此，要使（1－）<（）成立的m,必須且僅須滿足≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數m為10.