Question

已知數列滿足，，．
（1）若成等比數列，求的值；
（2）是否存在，使數列為等差數列？若存在，求出所有這樣的；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在，當a₁＝1時，數列{a_n}為等差數列．

試題分析：（1）首先利用遞推公式把都用表示，再根據成等比數列，列方程解出的值.（2）對于這類開放性問題，處理的策略就是先假設存在a₁，使數列{a_n}為等差數列，與（1）類似，根據成等差數列，有，從面得到關于的方程，方程若有解則存在，否則可認為不存在a₁，使數列{a_n}為等差數列.
試題解析：（1）∵0＜a₁＜2，
∴a₂＝2－|a₁|＝2－a₁，a₃＝2－|a₂|＝2－|2－a₁|＝2－(2－a₁)＝a₁．
∵a₁，a₂，a₃成等比數列，
∴a₂²＝a₁a₃，即(2－a₁)²＝a₁²，
解得a₁＝1．                            6分
（2）假設這樣的等差數列存在，則
由2a₂＝a₁＋a₃，得2(2－a₁)＝2a₁，
解得a₁＝1．
從而a_n＝1（n∈N^*），此時{a_n}是一個等差數列；
因此，當且僅當a₁＝1時，數列{a_n}為等差數列．           12分