Question

觀察此表：
1，
2，3，
4，5，6，7，
8，9，10，11，12，13，14，15，
…問：
（1）此表第n行的第一個數與最后一個數分別是多少？
（2）此表第n行的各個數之和是多少？
（3）2012是第幾行的第幾個數？

Answer 1

分析：（1）根據此表的特點可知此表n行的第1個數為2^n-1第n行共有2^n-1個數，依次構成公差為1的等差數列，利用等差數列的通項公式解之即可；
（2）直接根據等差數列的前n項和公式進行求解；
（3）設2012在此數表的第n行，則2^n-1≤2012≤2ⁿ-1可求出n，然后設2012是此數表的第11行的第m個數，而第11行的第1個數為2¹⁰，可求出m，從而得到結論．

解答：解：此表n行的第1個數為2^n-1第n行共有2^n-1個數，依次構成公差為1的等差數列．…（4分）
（1）由等差數列的通項公式，此表第n行的最后一個數是2^n-1+（2^1-1-1）×1=2ⁿ-1；（8分）
（2）由等差數列的求和公式，
此表第n行的各個數之和為

[2n-1+(2n-1)]×2n-1

2

=2^2n-2+2^2n-3-2^n-2，…（8分）
（3）設2012在此數表的第n行．
則2^n-1≤2012≤2ⁿ-1可得n=11
故2012在此數表的第11行．…（10分）
設2012是此數表的第11行的第m個數，而第11行的第1個數為2¹⁰，
因此，2012是第11行的第989個數．…（12分）

點評：本題主要考查了等差數列的通項公式，以及等差數列的求和，同時考查了分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．