Question

給出以下結論：（1）x，y∈R，若x²+y²=0，則x=0或y=0的否命題是假命題；
（2）若非零向量

a

，

b

，

c

兩兩成的夾角均相等，則夾角為0°或120°
（3）若（1+x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，則a₀+a₁+2a₂+3a₃+…10a₁₀=10×2⁹
（4）實數x，y滿足4x²-5xy+4y²=5，設S=x²+y²，則

1

Smax

+

1

Smin

=

7

5

（5）函數f(x)=

sinx，(sinx≤cosx) cosx，(sinx＞cosx)

為周期函數，且最小正周期T=2π
其中正確的結論的序號是：

（1）（5）

（寫出所有正確的結論的序號）

Answer 1

分析：根據（1）命題的逆命題為假命題，而逆命題與否命題同真假，得到（1）不正確．（2）空間中還可以成其它的角度．（如90°），所以（2）錯誤．（3）若（1+x）¹⁰=a₀+a₁x+…+a₁₀x¹⁰，左右兩邊同時對x求導，再利用賦值法即可得出結論；（4）根據函數的最值，得到不正確，（5）根據分段函數的周期性得到正確．

解答：解：（1）命題的逆命題為：x，y∈R，若x=0或y=0，則x²+y²=0，為假命題，
而逆命題與否命題同真假，所以（1）不正確．
（2）空間中還可以成其它的角度．（如90°），所以（2）錯誤．
（3）若（1+x）¹⁰=a₀+a₁x+…+a₁₀x¹⁰，左右兩邊同時對x求導，
則10（1+x）⁹=a₁+2a₂x+…+10a₁₀x⁹，
令 x=1 則a₁+2a₂+3a₃+…+10a₁₀=10×2⁹
∴a₀+a₁+2a₂+3a₃+…+10a₁₀
=10×2⁹+1   
所以（3）錯誤
（4）設

x= S cosα y= S sinα

代入4x²-5xy+4y²=5式得：4S-5S•sinαcosα=5  
解得 S=

10

8-5sin2α

；
∵-1≤sin2α≤1
∴3≤8-5sin2α≤13
∴

10

13

≤

10

8-5sin2α

≤

10

3

則

1

Smax

+

1

Smin

=

3

10

+

13

10

=

8

5

，所以（4）錯誤
（5）函數f（x）=

sinx，(sinx≤cosx) cosx，(sinx＞cosx)

分段函數中兩個函數都是周期函數，
可以得到分段函數為周期函數，且最小正周期T=2π．所以（5）正確．
故答案為：（1）（5）．

點評：本題考查命題真假的判斷，本題解題的關鍵是利用否命題與逆命題之間的同真假的關系，考查周期函數和函數的最值，本題是一個易錯題．