Question

（2004•黃埔區(qū)一模）以橢圓

x2

a2

+y2=1（a＞1）短軸一端點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，作橢圓內(nèi)接等腰直角三角形，試判斷并推證能作出多少個(gè)符合條件的三角形．

Answer 1

分析：設(shè)直角三角形一腰所在直線為y=kx+1（k＞0），則另一腰所在直線方程為y=-

1

k

x+1，分別代入橢圓方程，求得兩腰的長(zhǎng)，由兩腰長(zhǎng)相等得關(guān)于k的方程，討論方程的根的個(gè)數(shù)即可得符合條件的三角形的個(gè)數(shù)

解答：解：因a＞1，不防設(shè)短軸一端點(diǎn)為B（0，1），內(nèi)接直角三角形為△ABC，
則兩腰所在直線的斜率一定存在且不為0，?
設(shè)BC：y=kx+1（k＞0）?
則AB：y=-

1

k

x+1
把BC方程代入橢圓，?
得（1+a²k²）x²+2a²kx=0?
∴|BC|=

1+k2

2a2k

1+a2k2

，同理|AB|=

1+k2

2a2

k2+a2

由|AB|=|BC|，得?k³-a²k²+ka²-1=0?
（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0
∴k=1或k²+（1-a²）k+1=0?
當(dāng)k²+（1-a²）k+1=0時(shí)，△=（a²-1）²-4?
由△＜0，得1＜a＜

3

由△=0，得a=

3

，此時(shí)，k=1
故當(dāng)△≤0，即1＜a≤

3

時(shí)，方程（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0有一解?
當(dāng)△＞0即a＞

3

時(shí)，方程（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0有三解
即當(dāng)1＜a≤

3

時(shí)，符合條件的等腰直角三角形只有一個(gè)；
當(dāng)a＞

3

時(shí)，符合條件的等腰三角形可作三個(gè)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，通過(guò)聯(lián)立方程求曲線交點(diǎn)進(jìn)而求弦長(zhǎng)的方法，將符合條件的三角形個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵