Question

【題目】如圖，橢圓 的右頂點為 ，左、右焦點分別為 ，過點 且斜率為 的直線與 軸交于點 ，與橢圓交于另一個點 ，且點 在 軸上的射影恰好為點 ．

（1）求橢圓 的標準方程；
（2）過點 的直線與橢圓交于 兩點（ 不與 重合），若 ，求直線 的方程.

Answer 1

【答案】
（1）解：當 時， 軸，得到點
所以，所以橢圓 的方程是
（2）解：因為 ， 所以 ．
設 ，則 ，有
①當 斜率不存在， 的方程為 ，
或 ，(不合條件,舍去)
②當 斜率存在，由（Ⅰ）可知 ，設 方程為 ，
聯(lián)立方程 得： ．
由韋達定理可得 ，將 代入可得 ，
即 ．所以 ．
所以直線 的方程為 或
【解析】（1）首先由條件得到直線AP的方程，根據(jù)“B和F1”的橫坐標相同可得到B的坐標，代入直線AP，得到a，b，c一組關系；再由橢圓的性質(zhì)a2=b2+c2得到一組關系；最后根據(jù)A點坐標，得到a=2，代入方程求解b，c的值。
（2）由上題已知A，B的坐標，面積之比為6，可以利用三角函數(shù)表示三角形的面積，將面積比轉(zhuǎn)化為邊長比，再轉(zhuǎn)化為向量比，向量由點的坐標表示，可設出M，N的坐標和直線MN的方程；聯(lián)立直線MN和橢圓，得到系數(shù)由k表示的一元二次方程，根據(jù)韋達定理得到x1和x2的關系，進而得到直線MN的斜率k。