Question

如圖所示,PD⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為正方形,AB=2,E是PB的中點,
cos〈,〉=.
(1)建立適當的空間坐標系,寫出點E的坐標;
(2)在平面PAD內求一點F,使EF⊥平面PCB.

Answer 1

(1) 點E的坐標是（1，1，1）(2) F是AD的中點時滿足EF⊥平面PCB

  (1)如圖所示,以DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，

則A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0），
設P（0，0，2m），則E（1，1，m），
∴=（-1，1，m），
=（0，0，2m）.
∴cos〈,〉==.
解得m=1,∴點E的坐標是（1，1，1）.
（2）∵F∈平面PAD，∴可設F（x，0，z）.
則=（x-1，-1，z-1），
又=（2，0，0），=（0，2，-2）
∵EF⊥平面PCB
∴⊥，且⊥
即
∴
∴，∴F點的坐標為（1，0，0）
即點F是AD的中點時滿足EF⊥平面PCB.