Question

已知f(x)在(－1，1)上有定義，f()＝－1，且滿足x，y∈(－1，1)有f(x)＋f(y)＝f()
⑴證明：f(x)在(－1，1)上為奇函數；?
⑵對數列x₁＝，x_n＋1＝，求f(x_n);?
⑶求證

Answer 1

見解析

(Ⅰ)證明：令x＝y＝0，∴2f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0
令y＝－x，則f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0
∴f(x)＋f(－x)＝0  ∴f(－x)＝－f(x)
∴f(x)為奇函數  4分
(Ⅱ)解：f(x₁)＝f()＝－1，f(x_n＋1)＝f()＝f()＝f(x_n)＋f(x_n)＝2f(x_n)
∴＝2即{f(x_n)}是以－1為首項，2為公比的等比數列
∴f(x_n)＝－2^n－1
(Ⅲ)解：
 
而
∴