Question

(本題滿分14分)已知橢圓的右頂點，過的焦點且垂直長軸的弦長為.
（I） 求橢圓的方程；
（II） 設點在拋物線上，在點處的切線與交于點.當線段的中點與的中點的橫坐標相等時，求的最小值.

Answer 1

（I）；（II）的最小值為1．

本試題主要是考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關系的運用。
（1）因為橢圓的右頂點，過的焦點且垂直長軸的弦長為.，根據性質得到橢圓的方程。
（2）不妨設則拋物線在點P處的切線斜率為，直線MN的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即
結合判別式得到范圍和最值。
解：（I）由題意得所求的橢圓方程為，
（II）不妨設則拋物線在點P處的切線斜率為，直線MN的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因為直線MN與橢圓有兩個不同的交點，所以有，
設線段MN的中點的橫坐標是，則，
設線段PA的中點的橫坐標是，則，由題意得，即有，其中的或；
當時有，因此不等式不成立；因此，當時代入方程得，將代入不等式成立，因此的最小值為1．