Question

設拋物線（m＞0）的準線與x軸交于F₁，焦點為F₂；以F₁、F₂為焦點，離心率的橢圓C₂與拋物線C₁的一個交點為P．
（1）當m=1時，直線l經過橢圓C₂的右焦點F₂，與拋物線C₁交于A₁、A₂，如果弦長|A₁A₂|等于三角形PF₁F₂的周長，求直線l的斜率．
（2）求最小實數m，使得三角形PF₁F₂的邊長是自然數．

Answer 1

【答案】分析：（1）m=1時，F₂（1，0），由此能求出橢圓方程3x²+4y²=12．設l：y=k（x-1），聯立得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由此利用弦長公式能求出直線的斜率．
（2）設橢圓長半軸為a，半焦距為c，由題設有c=m，a=2m，|F₁F₂|=2m．設|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，有r₁+r₂=2a=4m，設P（x，y），對于拋物線C₁，r₂=x+m．由此能推導出使得三角形PF₁F₂的邊長是連續的自然數的最小實數．
解答：解：（1）∵拋物線（m＞0），
∴m=1時，F₂（1，0），
∵，
故橢圓方程為，即3x²+4y²=12．
依題意知直線l存在斜率，設l：y=k（x-1）
聯立得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．…3分
∵直線l與拋物線C₁有兩個交點，∴k≠0，
設A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），弦A₁A₂的中點M（x，y），
由韋達定理得…..5分
則 
=
=…8分
三角形PF₁F₂的周長=2a+2c=6，
由 ，解得 ．
故直線l的斜率為．…9分
（2）設橢圓長半軸為a，半焦距為c，由題設有c=m，a=2m，|F₁F₂|=2m．
又設|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，有r₁+r₂=2a=4m
設P（x，y），對于拋物線C₁，r₂=x+m；
對于橢圓C₂，，
即…..12分
由，解得 ，
∴，從而 ．
因此，三角形PF₁F₂的邊長分別是．…13分
使得三角形PF₁F₂的邊長是連續的自然數的最小實數m=3．…14分
點評：本題考查直線斜率的求法，考查使得三角形周長是連續的自然數的最小實數的求法．解題時要認真審題，注意橢圓、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關系的綜合運用．