Question

在平面直角坐標系xoy中，拋物線C的頂點在原點，經過點A（2，2），其焦點F在x軸上．
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）求過點F，且與直線OA垂直的直線的方程；
（3）設過點M（m，0）（m＞0）的直線交拋物線C于D、E兩點，ME=2DM，記D和E兩點間的距離為f（m），求f（m）關于m的表達式．

Answer 1

分析：（1）先設出拋物線的方程，把點A代入即可求得p，則拋物線的方程可得．
（2）根據（1）中拋物線的方程求得焦點的坐標，利用A點求得OA的斜率，進而求得其垂線的斜率，利用點斜式求得其方程．
（3）設出D，E的坐標和直線DE的方程，代入拋物線方程求得交點縱坐標，利用ME=2DM進而等式求得k和m的關系式，進而利用兩點間的距離公式表示出DE的長，把m和k的關系式代入即可．

解答：解：（1）由題意，可設拋物線的標準方程為y²=2px，
因為點A（2，2），在拋物線上，所以p=1，
拋物線的標準方程為y²=2x
（2）由（1）可得焦點F坐標是（

1

2

，0），又直線AO的斜率為

2

2

=1，
故與直線OA垂直的直線的斜率為-1，
因此所求直線的方程為x+y-

1

2

=0
（3）設點D和E的坐標分別是（x₁，y₁）和（x₂，y₂），直線DE的方程是y=k（x-m）．
k≠0，將x=

y

k

+m代入拋物線方程有ky²-2y-2km=0，解得y_1，2=

1± 1+2mk2

k

由ME=2DM知1+

1+2mk2

=2（

1+2mk2

-1），化簡得k²=

4

m

，
∴DE²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=

9

4

（m²+4m）
所以f（m）=

3

2

m2+4m

（m＞0）

點評：本小題主要考查直線、拋物線及兩點間的距離公式等基本知識，考查運算求解能力．