Question

【題目】已知函數

（Ⅰ）若的圖像與直線相切，求

（Ⅱ）若且函數的零點為,

設函數試討論函數的零點個數.（為自然常數）

Answer 1

【答案】（1）（2）有兩個不同的零點

【解析】分析：（Ⅰ）設切點坐標為，故可以關于的方程組，從該方程組解得．

（Ⅱ）因，故為減函數，結合可得的零點．又是分段函數，故分別討論在上的單調性，結合利用零點存在定理得到有兩個不同的零點．

詳解：（Ⅰ）設切點，所以，故，從而

又切點在函數上，所以即，故，

解得， ．

（Ⅱ）若且函數的零點為，

因為，，為上的減函數，

故．

當時，，

因為，

當時，；

當時，，

則在上單調遞增，上單調遞減，則,

所以在上單調遞減．

當時，，

所以在區間上單調遞增．

又，且；

又，

所以函數在區間上存在一個零點， 在區間上存在一個零點．

綜上，有兩個不同的零點．