Question

已知函數f(x)在區間(－∞，＋∞)上是增函數，a，b∈R.
(1)求證：若a＋b≥0，則f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；
(2)判斷(1)中命題的逆命題是否正確，并證明你的結論．

Answer 1

（1）見解析
（2）逆命題是真命題，見解析

解：(1)由a＋b≥0，得a≥－b.
由函數f(x)在區間(－∞，＋∞)上是增函數，得f(a)≥f(－b)，同理，f(b)≥f(－a)，
所以f(a)＋f(b)≥f(－b)＋f(－a)，即f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(2)對于(1)中命題的逆命題是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0，此逆命題為真命題．
現用反證法證明如下：
假設a＋b≥0不成立，則a＋b<0，a<－b，b<－a，
根據f(x)的單調性，得f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，
這與已知f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾，故a＋b<0不成立，
即a＋b≥0成立，因此(1)中命題的逆命題是真命題．