Question

（本小題滿分14分）
如圖，四邊形為矩形，且，，為上的動點.
(1) 當為的中點時，求證：；
(2) 設，在線段上存在這樣的點E，使得二面角的平面角大小為. 試確定點E的位置.

Answer 1

方法一：(1) 證明：當為的中點時，，從而為等腰直角三角形，
則，同理可得，∴，于是，…2分
又，且，∴，
…………………4分  
∴，又，∴. …………………………6分
（也可以利用三垂線定理證明，但必需指明三垂線定理）
（還可以分別算出PE，PD，DE三條邊的長度，再利用勾股定理的逆定理得證，也給滿分）
(2) 如圖過作于，連，則，…7分

∴為二面角的平面角.     ……………9分
設，則.
…………11分

于是　……………………………13分
，有解之得。
點在線段BC上距B點的處. ………………………………14分
方法二、向量方法.以為原點，所在直線為 軸，建立空間直角坐標系，如圖. …………………………1分

（1）不妨設，則，
從而，………………………5分
于是，
所以所以  ………………………6分
（2）設，則，
則    .……………………………………10分
易知向量為平面的一個法向量.設平面的法向量為，
則應有 即解之得，令則，，
從而，…………………………………………………………12分
依題意，即，
解之得（舍去），……………………………………13分
所以點在線段BC上距B點的處 .………………………………14分

略