Question

定義在上的函數，當時，，且對任意的 ,有，
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求證：對任意的，恒有；
（Ⅲ）若，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）.

解析試題分析：（Ⅰ）令即可得證；（Ⅱ）令得，，由已知x>0時，f(x)>1>0，當x<0時，-x>0，f(-x)>0，故對任意x∈R，f(x)>0；（Ⅲ）先證明為增函數：任取x₂>x_1，則，，故，故其為增函數；然后利用單調性脫解一元二次不等式.
試題解析：（Ⅰ）令，則f(0)=[f(0)]²  ∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1  2分
（Ⅱ）令則 f(0)=f(x)f(-x)∴  4分
由已知x>0時，f(x)>1>0，當x<0時，-x>0，f(-x)>0
∴，又x=0時，f(0)=1>0       6分
∴對任意x∈R，f(x)>0               7分
(Ⅲ)任取x₂>x₁，則f(x₂)>0，f(x₁)>0，x₂-x₁>0  8分
∴
∴f(x₂)>f(x₁) ∴ f(x)在R上是增函數       10分
f(x)·f(2x-x²)=f[x+(2x-x²)]=f(-x²+3x)又1=f(0)，f(x)在R上遞增
∴由f(3x-x²)>f(0)得：x-x²>0 ∴ 0<x<3       13分
考點：抽象函數、增函數的證明、一元二次不等式解法.