Question

（2011•南充一模）在銳角三角形ABC中，角A，B，C對(duì)邊a，b，c且a²+b²-

2

ab=c²，tanA-tanB=csc2A
①求證：2A-B=

π

2

；
②求三角形ABC三個(gè)角的大小．

Answer 1

分析：（1）將等式tanA-tanB=csc2A進(jìn)行“切化弦”，再利用二倍角的三角函數(shù)公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得tan（-2A）=tan
（

π

2

-B），結(jié)合A、B均為銳角得-2A+π=

π

2

-B，即得2A-B=

π

2

成立；
（2）利用余弦定理c²=a²+b²-2abcosC的式子，結(jié)合題意解出cosC=

2

2

，從而得到C=

π

4

．再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理和（1）的等式聯(lián)解，即可得到△ABC三個(gè)角的大小．

解答：解：（1）∵tanA-tanB=csc2A，即

sinA

cosA

-

sinB

cosB

=

1

sin2A

∴

2sin2A-1

2sinAcosA

=

sinB

cosB

，可得-

cos2A

sin2A

=

cos( π 2 -B)

sin( π 2 -B)

即-tan2A=tan（

π

2

-B），得tan（-2A）=tan（

π

2

-B），
∵A、B∈（0，

π

2

），∴-2A+π=

π

2

-B，解之得2A-B=

π

2

；
（2）∵a²+b²-

2

ab=c²，
∴根據(jù)余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，可得cosC=

2

2

結(jié)合C∈（0，

π

2

），得C=

π

4

由三角形內(nèi)角和定理，得A+B=

3π

4

根據(jù)（1）2A-B=

π

2

，聯(lián)解得A=

5π

12

，B=

π

3

綜上所述，三角形ABC三個(gè)角的大小分別為A=

5π

12

，B=

π

3

，C=

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形的邊和角滿足的條件，求三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小．著重考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角三角函數(shù)公式和余弦定理等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．