Question

關于函數f（x）=4sin（πx+

π

3

），x∈R，有下列命題：
①對任意x∈R，有f（x+1）=-f（x）成立；
②y=f（x）在區間[0，1]上的最小值為-4；
③y=f（x）的圖象關于點（-

1

3

，0）對稱；
④y=f（x）的圖象關于直線x=

π

6

對稱．
其中正確的命題的序號是

 

．（注：把你認為正確的命題的序號都填上．）

Answer 1

分析：利用誘導公式化簡f（x+1）的解析式，可得①正確．
根據

π

3

≤πx+

π

3

≤

4π

3

，得πx+

π

3

=

4π

3

 時，f（x）有最小值為 4×（-

3

2

）=-2

3

，可得②不正確．
由點（-

1

3

，0）是f（x）與x軸的交點，可得③正確．
由當x=

π

6

時，f（x）=sin

π2+2π

6

≠±1，故x=

π

6

不是函數的對稱軸，可得④不正確．

解答：解：f（x+1）=4sin（π+πx+

π

3

）=-4sin（πx+

π

3

）=-f（x），故①正確．
在區間[0，1]上，

π

3

≤πx+

π

3

≤

4π

3

，故πx+

π

3

=

4π

3

 時，f（x）有最小值為 4×（-

3

2

）=-2

3

，故②不正確．
當x=-

1

3

時，f（x）=sin0=0，故點（-

1

3

，0）是f（x）與x軸的交點，故y=f（x）的圖象關于點（-

1

3

，0）對稱，故③正確．
當x=

π

6

時，f（x）=sin

π2+2π

6

≠±1，故x=

π

6

不是函數的對稱軸，故④不正確．
故答案為 ①③．

點評：本題考查正弦函數的對稱性以及最值，誘導公式的應用，明確對稱中心、對稱軸的定義、函數取最值的條件，是解題的關鍵．