Question

已知下表為函數f（x）=ax3+cx+d部分自變量取值及其對應函數值，為便于研究，相關函數值非整數值時，取值精確到0.01． x 3.27 1.57 -0.61 -0.59 0.26 0.42 -0.35 -0.56 0 4.25 y -101.63 -10.04 0.07 0.026 0.21 0.20 -0.22 -0.03 0 -226.05 下列關于函數f（x）的敘述： （1）f（x）為奇函數；                          （2）f（x）在[0.55，0.6]上必有零點 （3）f（x）在（-∞，-0.35]上單調遞減；         （4）a＜0 其中所有正確命題的個數是（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：根據圖表中f（0）=0求得d=0，進而可判斷出f（-x）=-f（x）函數為奇函數，結合f（-0.56）＜0可得f（0.56）＞0，同理得f（0.59）＜0，進而可知f（x）在[0.55，0.6]上必有零點；根據圖象的趨勢f（-0.35）=-0.22，f（-0.56）=-0.03，f（-0.59）=0.026，f（-0.61）=0.07，可推斷出函數f（x）在（-∞，-0.35]上單調遞減，根據其單調區間，可以判斷其導函數的圖象，進而得到a的符號．

解答：解：∵f（0）=0
∴f（x）=ax³+cx，則f（-x）=a（-x）³+c（-x）=-f（x）
即f（x）為奇函數，即（1）正確；
∵f（-0.59）=0.026＞0，∴f（0.59）＜0
又∵f（-0.56）=-0.03＜0，∴f（0.56）＞0
∵f（0.56）•f（0.59）＜0
故在[0.56，0.59]上必有零點，則[0.55，0.6]上必有零點，即（2）正確；
由于函數f（x）=ax³+cx為三次函數，有三個零點，故函數必有三個單調區間
∵f（-0.35）=-0.22，f（-0.56）=-0.03，f（-0.59）=0.03，f（-0.61）=0.07，
∴f（x）在（-∞，-0.35]上單調遞減，故（3）正確；
由于函數有兩個單調遞減區間，一個單調遞增區間，故其導函數的圖象是開口朝下的拋物線，故a＜0，故（4）正確
故選A

點評：本題主要考查了函數奇偶性的判斷．考查了學生分析推理和解決實際問題的能力．