Question

【題目】設函數．

（1）當時，設，求證：對任意的，；

（2）當時，若對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）當時，原不等式等價于．令，求導后可知函數在上單調遞增，所以，得證；（2）當時，原不等式等價于，令，，對求導后對分成，兩類討論，可求得實數的取值范圍為．

試題解析：

（1）當時，，

所以等價于．

令，則，可知函數在上單調遞增，

所以，即，亦即

（2）當時，，．

所以不等式等價于．

方法一：令，，

則．

當時，，則函數在上單調遞增，所以，

所以根據題意，知有，∴

當時，由，知函數在上單調減；

由，知函數在上單調遞增．

所以．

由條件知，，即．

設，，則，，

所以在上單調遞減．

又，所以與條件矛盾．

綜上可知，實數的取值范圍為．

方法二：令，，

則在上恒成立，所以，

所以．

又，

顯然當時，，則函數在上單調遞增，所以，所以．

綜上可知的取值范圍為．