Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

已知直角坐標系中動點，參數，在以原點為極點、軸正半軸為極軸所建立的極坐標系中，動點在曲線： 上.

（1）求點的軌跡的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）若動點的軌跡和曲線有兩個公共點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）設點P的坐標為（x，y），消去參數α，得能求出點P的軌跡E的方程；由， ，能求出曲線C的方程；

（2）由已知得直線與圓相交，圓心（1，0）到直線ax﹣y+a=0，（a≠0）的距離小于半徑1，由此能求出實數a的取值范圍．

試題解析：

（1）設點的坐標為，則有

消去參數，可得，為點的軌跡的方程；

由曲線： ，得，且，

由， 故曲線的方程為： ；

（2）曲線的方程為： ，即

表示過點，斜率為的直線，動點的軌跡是以為圓心， 為半徑的圓

由軌跡和曲線有兩個公共點，結合圖形可得．