Question

【題目】定義：如果函數(shù)在定義域內(nèi)給定區(qū)間上存在，滿足 ，則稱函數(shù)是上的“平均值函數(shù)”，是它的均值點(diǎn).

（1）是否是上的“平均值函數(shù)”，如果是請(qǐng)找出它的均值點(diǎn)；如果不是，請(qǐng)說明理由；

（2）現(xiàn)有函數(shù)是上的平均值函數(shù)，則求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）它的均值點(diǎn)為；（2）.

【解析】

（1）利用結(jié)合的解有且只有，從而可得結(jié)果；（2）函數(shù)是上的平均值函數(shù)，求得，等價(jià)于關(guān)于的方程，即在內(nèi)有實(shí)數(shù)根，令，可得，討論的符號(hào)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理與二次函數(shù)的圖象即可得結(jié)果.

（1）又由于的解有且只有，所以是上的“平均值函數(shù)”，且它的均值點(diǎn)為；

（2）因?yàn)楹瘮?shù)是上的平均值函數(shù)，所以，即關(guān)于的方程在內(nèi)有實(shí)數(shù)根，即在內(nèi)有實(shí)數(shù)根，

令，則，

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在有一個(gè)零點(diǎn)，滿足條件；

當(dāng)，即時(shí)，方程根為，滿足條件；

當(dāng)，即時(shí)，要使得方程在內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則且函數(shù)的對(duì)稱軸在上，即，解得；

綜上：.