Question

已知四棱錐E－ABCD的底面為菱形，且∠ABC＝60°，AB＝EC＝2，AE＝BE＝，O為AB的中點．

(Ⅰ)求證：EO⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求點D到平面AEC的距離．

Answer 1

(Ⅰ)詳見解析； (Ⅱ) 點D到平面AEC的距離為．

試題分析：(Ⅰ)求證EO⊥平面ABCD，只需證明垂直平面內的兩條直線即可，注意到，則為等腰直角三角形，是的中點，從而得，由已知可知為邊長為２的等邊三角形，可連接CO，利用勾股定理，證明EO⊥CO，利用線面垂直的判定，可得EO⊥平面ABCD；(Ⅱ)求點D到平面AEC的距離，求點到平面的距離方法有兩種，一．垂面法，二．等體積法，此題的體積容易求，且的面積也不難求出，因此可利用等體積，即，從而可求點D到面AEC的距離．
試題解析：(Ⅰ)連接CO.                       
∵，∴△AEB為等腰直角三角形．              1分
∵O為AB的中點，∴EO⊥AB，EO＝1.                            2分
又∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ACB是等邊三角形，
∴CO＝.                                                     3分
又EC＝2，∴EC²＝EO²＋CO²，∴EO⊥CO.                         4分
又CO?平面ABCD，EO平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.          6分
(Ⅱ)設點D到平面AEC的距離為h.
∵AE＝，AC＝EC＝2，∴S_△AEC＝.                             8分
∵S_△ADC＝，E到平面ACB的距離EO＝1，V_D－AEC＝V_E－ADC，         9分
∴S_△AEC·h＝S_△ADC·EO，∴h＝，                                11分
∴點D到平面AEC的距離為.                                  12分