Question

如圖，已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，、分別是、的中點．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）若與平面所成角為，且，求點到平面的距離．

Answer 1

(1)見試題解析；（2）.

試題分析：（I）要證明平面，關鍵是在平面內找到一條與直線平行的直線，本題就想是否有一個過直線的平面與平面相交，交線就是我們要找的平行直線（可根據線面平行的性質定理知），在圖形中可容易看出應該就是平面，只不過再想一下，交線到底是什么而已，當然具體輔助線的作法也可換成另一種說法（即試題解析中的直接取中點，然后連接的方法）；（2）由于平面，所以三棱錐的體積可以很快求出，從而本題可用體積法求點到平面的距離，另外由于，如果取中點，則有，從而可得平面，也即平面平面，這時點到平面的垂線段可很快作出，從而迅速求出結論.
試題解析：（I）證明：如圖，取的中點，連接．

由已知得且，
又是的中點，則且，是平行四邊形， ∴
又平面，平面 平面
（II）設平面的距離為，
【法一】：因平面，故為與平面所成角，所以，
所以，，又因，是的中點所以，，．
作于，因，則
，
則，
因所以
【法二】因平面，故為與平面所成角，所以，
所以，，又因，是的中點所以，，．
作于，連結，因，則為的中點，故
所以平面，所以平面平面，作于，則平面，所以線段的長為平面的距離.
又，
所以.