Question

【題目】如圖，在菱形中，，平面，，是線段的中點，.

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析.

(2) .

【解析】試題分析：（1）設AC與BD的交點為O，連接MO可證明平面、平面，從而可得平面平面，進而可得平面；（2）取的中點為，連接，則，以為坐標原點，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，求出直線的方向向量，利用向量垂直數量積為零解方程組求出平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得直線與平面所成角的正弦值.

試題解析：（1）設與的交點為，連接.因為，平面，所以平面.

因為是線段的中點，所以是的中位線，所以.

又，所以平面

所以，平面平面.

故平面.

（2）取的中點為，連接，則.

以為坐標原點，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.取，則，，，.

所以，.

設平面的法向量，則，即，解得.

可取法向量.

又，則

故直線與平面所成角的正弦值為.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、直線和平面成的角的定義及求法、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.