Question

某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如圖三棱柱ABC-A₁B₁C₁的六個頂點上各安裝一個燈泡，要求同一條線段的兩端的燈泡顏色不同，則每種顏色的燈泡至少用一個的安裝方法共有（　　）

A．96種

B．144種

C．216種

D．288種

Answer 1

分析：根據題意，分3步進行，第一步，為A、B、C三點選燈泡的顏色，由排列數公式可得其情況數目，第二步，在A₁、B₁、C₁中選一個裝第4種顏色的燈泡，第三步，為剩下的兩個燈選顏色，分類討論可得其情況數目，進而由分步計數原理，計算可得答案．

解答：解：根據題意，每種顏色的燈泡都至少用一個，
即用了四種顏色的燈進行安裝，分3步進行，
第一步，為A、B、C三點選三種顏色燈泡共有A₄³種選法；
第二步，在A₁、B₁、C₁中選一個裝第4種顏色的燈泡，有3種情況；
第三步，為剩下的兩個燈選顏色，
假設剩下的為B₁、C₁，若B₁與A同色，
則C₁只能選B點顏色；若B₁與C同色，
則C₁有A、B處兩種顏色可選．
故為B₁、C₁選燈泡共有3種選法，
即剩下的兩個燈有3種情況，
則共有A₄³×3×3=216種方法．
故選C．

點評：本題考查了分類計數原理與分步計數原理的運用，排列、組合在計數中的應用，合理分類，恰當分步是解決本題的關鍵．