Question

【題目】設函數 （b≠0）．
（1）若函數f（x）在定義域上是單調函數，求實數b的取值范圍；
（2）求函數f（x）的極值點；
（3）令b=1， ，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），C（x3 ， y3）是曲線y=g（x）上相異三點，其中﹣1＜x1＜x2＜x3 ． 求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，∵函數f（x）在定義域上是單調函數，

∴f'（x）≥0或f'（x）≤0在（﹣1，+∞）上恒成立．

若f'（x）≥0恒成立，得 ．

若f'（x）≤0恒成立，即 恒成立．

∵ 在（﹣1，+∞）上沒有最小值，

∴不存在實數b使f'（x）≤0恒成立．

綜上所述，實數b的取值范圍是 ．

（2）由（1）知當 時，函數f（x）無極值點．

當 時，f（x）=0有兩個不同解， ， ，

∵b＜0時， ， ，

即x1（﹣1，+∞），x2∈（﹣1，+∞），

∴b＜0時，f（x）在（﹣1，x2）上遞減，在（x2，+∞）上遞增，f（x）有唯一極小值點 ；

當 時， ．

∴x1，x2∈（﹣1，+∞），f（x）=0在（﹣1，x1）上遞增，在（x1，x2）遞減，

在（x2，+∞）遞增，f（x）有一個極大值點 和一個極小值點 ．

綜上所述，b＜0時，f（x）有唯一極小值點 ，

時，f（x）有一個極大值點 和一個極小值點 ；

時，f（x）無極值點．

（3）先證： ，即證 ，

即證 = ，

令 （t＞1）， ， ，

所以 在（1，+∞）上單調遞增，

即p（t）＞p（1）=0，即有 ，所以獲證．

同理可證： ，

所以 ．

【解析】（1）對函數f（x）進行求導，要使得函數f（x）在定義域上是單調函數，只需要f'（x）≥0或f'（x）≤0在（﹣1，+∞）上恒成立，進行參變分離分類討論得出實數b的取值范圍，（2）當b ≥ 時，函數f（x）無極值點，當b＜時，利用求根公式可得到f'（x）=0有兩個不同解，且當b＜0時，可判斷出x1（﹣1，+∞），x2∈（﹣1，+∞），此時可得到極值點，當 0 < b < 時，x1，x2∈（﹣1，+∞），可得到此時f（x）的單調區間及極值點，（3）先證： > g ' ( x 2 ) ，即證> 1 +,令=t（t＞1） ，構造函數p（t）=lnt+-1，通過求導可得出 p（t）＞p（1）=0，即有 l n t + 1 > 0 ，所以獲證，同理可證：＜ g ' ( x 2 )，從而結論得證.
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值即可以解答此題．