Question

已知函數(shù)，如果函數(shù)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，且.
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求的最小值，并指出此時(shí)的值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

解析試題分析：（Ⅰ）因?yàn)?函數(shù)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，即有兩個(gè)零點(diǎn)，，則
方程有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，                         
當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，所以在時(shí)取得最小值．∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，所以 ，                     
于是，所以，，所以．所以 當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，所以在上的最小值為，此時(shí).
試題解析：（Ⅰ）∵ 函數(shù)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，即有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴ 方程有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，  
令．
，
當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，
∴在時(shí)取得最小值．
∴．
（Ⅱ）∵，即，
∴
于是，
∴
∵，
∴．
∴ 當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)
∴在上的最小值為，此時(shí).
考點(diǎn)：1.函數(shù)中證明問(wèn)題；3.函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用.