Question

【題目】已知函數y＝x＋有如下性質：如果常數t>0，那么該函數在(0， ]上是減函數，在[，＋∞)上是增函數．

(1)已知f(x)＝，x∈[0,1]，利用上述性質，求函數f(x)的單調區間和值域；

(2)對于(1)中的函數f(x)和函數g(x)＝－x－2a，若對任意x1∈[0,1]，總存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求實數a的值．

Answer 1

【答案】(1) [－4，－3] ;(2) a＝

【解析】試題分析：（1）f(x)＝＝，換元后

結合所給性質易得所求；（2）對任意x1∈[0,1]，總存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立等價于f(x)的值域是g(x)的值域的子集.

試題解析：

(1)y＝f(x)＝＝，

設u＝2x＋1，x∈[0,1]，1≤u≤3，

則y＝u＋－8，u∈[1,3]．

由已知性質得，當1≤u≤2，即0≤x≤時，f(x)單調遞減；

所以減區間為[0， ]；

當2≤u≤3，即≤x≤1時，f(x)單調遞增；

所以增區間為[，1]；

由f(0)＝－3，f()＝－4，f(1)＝－，

得f(x)的值域為[－4，－3]．

(2)g(x)＝－x－2a為減函數，

故g(x)∈[－1－2a，－2a]，x∈[0,1]．

由題意，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，

∴ ∴a＝.