Question

【題目】已知函數f（x）=x3（a2+a+2）x2+a2（a+2）x，a∈R．

（1）當a=1時，求函數y=f（x）的單調區間；

（2）求函數y=f（x）的極值點．

Answer 1

【答案】（1）遞增區間為（-∞，+∞）；（2）見解析

【解析】

（1）先求解導數，利用導數取值的正負可得單調區間；

（2）先求解導數，結合導數零點情況判斷函數極值點的情況.

（1）當a=1時，．∵=x22x+1=（x1）2≥0，

故函數在R內為增函數，單調遞增區間為（-∞，+∞）．

（2）∵=x2（a2+a+2）x+a2（a+2）=（xa2）[x（a+2）]，

①當a=1或a=2時，a2=a+2，∵≥0恒成立，函數為增函數，無極值；

②當a＜1或a＞2時，a2＞a+2，

可得當x∈（∞，a+2）時，＞0，函數為增函數；

當x∈（a+2，a2）時，＜0，函數為減函數；

當x∈（a2，+∞）時，＞0，函數為增函數．

當x=a+2時，函數有極大值f（a+2），當x=a2時，函數有極小值f（a2）．

③當1＜a＜2時，a2＜a+2．

可得當x∈（-∞，a2）時，＞0，函數為增函數；

當x∈（a2，a+2）時，＜0，函數為減函數；

當x∈（a+2，+∞）時，＞0，函數為增函數．

當x=a+2時，函數有極小值f（a+2）；當x=a2時，函數有極大值f（a2）．

綜上可得：當a=1或a=2時，函數無極值點；當a＜1或a＞2時，函數有極大值點a+2，函數有極小值點a2；當1＜a＜2時，函數有極大值點a2，函數有極小值點a+2.