Question

【題目】過拋物線的一條弦的中點作平行于拋物線對稱軸的平行線（或與對稱軸重合），交拋物線于一點，稱以該點及弦的端點為頂點的三角形為這條弦的阿基米德三角形（簡稱阿氏三角形）.

現有拋物線:，直線：（其中，，是常數，且），直線交拋物線于，兩點，設弦的阿氏三角形是.

（1）指出拋物線的焦點坐標和準線方程；

（2）求的面積（用，，表示）；

（3）稱的阿氏為一階的；、的阿氏、為二階的；、、、的阿氏三角形為三階的；……，由此進行下去，記所有的階阿氏三角形的面積之和為，探索與之間的關系，并求.

Answer 1

【答案】（1）焦點坐標：，準線方程：；（2）；（3），

【解析】

（1）將拋物線方程化為標準方程后即可求得焦點坐標和準線方程；

（2）將直線方程代入拋物線方程，利用韋達定理可求得，根據可整理得到，代入整理可得結果；

（3）由（2）知，繼續求解阿氏三角形面積可知，進而分析得到；可知為無窮等比數列，利用無窮等比數列前項和的極限的求法可求得結果.

（1）由得：

拋物線焦點坐標為，準線方程為：

（2）將代入拋物線方程得：，則

設，

則中點，

又，

（3）設是拋物線上的任意一條弦，由（2）知

設弦、的阿氏三角形依次為，

上述討論表明，階中的每一個阿氏三角形都可以生成階中的兩個阿氏三角形，且后者的面積之和是前者面積的

階中的個阿氏三角形面積之和與階中的個阿氏三角形面積之和滿足

是首先為，公比為的無窮等比數列