Question

(2014·隨州模擬)已知等比數列{a_n}滿足a_n+1+a_n=9·2^n-1,n∈N^*.
(1)求數列{a_n}的通項公式.
(2)設數列{a_n}的前n項和為S_n,若不等式S_n>ka_n-2對一切n∈N^*恒成立,求實數k的取值范圍.

Answer 1

（1）a_n=3·2^n-1,n∈N^*     （2）

(1)設等比數列{a_n}的公比為q,
因為a_n+1+a_n=9·2^n-1,n∈N^*,所以a₂+a₁=9,a₃+a₂=18,
所以q===2,
又2a₁+a₁=9,所以a₁=3.所以a_n=3·2^n-1,n∈N^*.
(2)S_n===3(2ⁿ-1),
所以3(2ⁿ-1)>k·3·2^n-1-2,所以k<2-.
令f(n)=2-,f(n)隨n的增大而增大,
所以f(n)_min=f(1)=2-=,
所以k<,所以實數k的取值范圍為.