Question

【題目】已知命題P：x1 ， x2是方程x2﹣mx﹣1=0的兩個實根，且不等式a2+4a﹣3≤|x1﹣x2|對任意m∈R恒成立；命題q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，若命題p∨q為真，p∧q為假，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：∵x1 ， x2是方程x2﹣mx﹣1=0的兩個實根，
∴x1+x2=m，x1x2=﹣1，
|x1﹣x2|= ，
∴當m∈R時，|x1﹣x2|min=2．
由不等式a2+4a﹣3≤|x1﹣x2|對任意m∈R恒成立，
得：a2+4a﹣5≤0，
∴﹣5≤a≤1；
∴命題p為真命題時﹣5≤a≤1．
命題p為假命題時a＞1或a＜﹣5；
命題q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，
①當a＞0時，顯然有解，
②當a=0時，2x﹣1＞0有解，
③當a＜0時，∵ax2+2x﹣1＞0有解，
∴△=4+4a＞0，∴﹣1＜a＜0；
從而命題p：不等式ax2+2x﹣1＞0有解時a＞﹣1
∴命題q是真命題時a＞﹣1，命題q是假命題時a≤﹣1．
∵p∨q真，p∧q假，
∴p與q有且僅有一個為真．（1）當命題p是真命題且命題q是假命題時﹣5≤a≤﹣1；（2）當命題p是假命題且命題q是真命題時a＞1；
綜上所述：a的取值范圍為：﹣5≤a≤﹣1或a＞1
【解析】化簡命題p，q；由p∨q為真命題，p∧q為假命題知p與q有且僅有一個為真．從而得出a的取值范圍．
【考點精析】通過靈活運用復合命題的真假，掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判斷:“非p”形式復合命題的真假與F的真假相反；“p且q”形式復合命題當P與q同為真時為真，其他情況時為假；“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況時為真即可以解答此題．