Question

【題目】已知點為拋物線的焦點，點、在拋物線上，且、、三點共線.若圓的直徑為.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）過點的直線與拋物線交于點，，分別過、兩點作拋物線的切線，，證明直線，的交點在定直線上，并求出該直線.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；定直線

【解析】

（1）由題可知中點為，，設、到準線的距離分別為，.到準線的距離為，由梯形中位線得到方程，再根據拋物線定義求解.

（2）設，，由，得，則，分別設直線的方程為，直線的方程為，聯立，方程，求得交點坐標，再由直線方程為，與拋物線聯立，利用韋達定理求解.

（1）由題可知中點為，設、到準線的距離分別為，.到準線的距離為，

則，由拋物線定義得，，所以，

所以，即.

所以拋物線的標準方程為.

（2）設，，由，得，則，

所以直線的方程為，直線的方程為，

聯立，方程得，即，的點坐標為.

因為過焦點，

由題可知直線的斜率存在，所以設直線方程為，

與拋物線聯立得，

所以，，

所以直線，的交點在定直線上.