Question

【題目】集合，，.若集合中的所有元素都能用中不超過9個的不同元素相加表示，求，并構造達到最小時對應的一個集合.

Answer 1

【答案】，為滿足條件的集合.

【解析】

設.

依題意應有.

注意到，，

，

.

故.

下面證明：

滿足條件.

1.首先用數學歸納法證明：對任意的，可以表示成中至多個不同元素之和.

當時，對任意的，由二進制知識知

.

其中，或1，不全為1，.

即可表示成中至多4個不同元素之和.

假設時，命題成立.

當時，由歸納假設易知，當時命題成立；當時，.

由歸納假設，可以表示成中至多個不同元素之和，故可以表示成中至多個不同元素之和.

2.對，取，使得.

若，則，矛盾.

若，則，同1知可表示成中至多3個不同元素之和.故可表示成中至多9個不同元素之和.

若則，由1知可表示成中至多個不同元素之和.故可表示成中至多個不同元素之和.

3.對，則.

取，使得，從而，.

由1知可表示成中至多個不同元素之和.

故可表成中至多個不同元素之和.

綜上，，為滿足條件的集合.