Question

【題目】已知橢圓：的右焦點為，設過的直線的斜率存在且不為0，直線交橢圓于，兩點，若中點為，為原點，直線交于點．

（1）求證：；

（2）求的最大值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】

試題分析：

(1)設直線的斜率為（），聯立直線方程與橢圓方程可得．結合韋達定理可得線段中點的坐標為．據此計算可得直線的斜率為，則.

(2)考查．換元令，則．結合二次函數的性質可得時，取最大值3，此時取最大值．

試題解析：

（1）證明：設直線的斜率為（），則直線的方程為，

聯立方程組消去可得．

設，，則于是有，

所以線段中點的坐標為．

又直線的斜率，因此直線的方程為，它與直線的交點，故直線的斜率為，于是．　

因此.

（2）解：記

．

令，則．

因為，所以．

故當時，即時，取最大值3．

從而當時，取最大值．