Question

【題目】有下列命題：①邊長(zhǎng)為1的正四面體的內(nèi)切球半徑為；

②正方體的內(nèi)切球、棱切球（正方體的每條棱都與球相切）、外接球的半徑之比為1：；

③棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球被平面A1BD截得的截面面積為．

其中正確命題的序號(hào)是______（請(qǐng)?zhí)钏�有正確命題的序號(hào)）；

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

運(yùn)用正四面體的性質(zhì)和體積公式，結(jié)合等積法可得球的半徑，可判斷①；

由正方體與內(nèi)切球、棱切球和外接球的關(guān)系，求得半徑，可判斷②；

求得正方體內(nèi)切球半徑，結(jié)合球的截面性質(zhì)，以及勾股定理和等邊三角形的性質(zhì)，即可判斷③．

①邊長(zhǎng)為1的正四面體的高為h，

可得正四面體的體積為Vh，

設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，由等積法可得VrSr4，（S為正四面體的全面積）

解得r，故①正確；

②設(shè)邊長(zhǎng)為1的正方體的內(nèi)切球、棱切球（正方體的每條棱都與球相切）、外接球的半徑

分別為r1，r2，r3，可得2r1＝1，2r2，2r3，

即有r1：r2：r3＝1：，故②正確；

③棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的內(nèi)切球的半徑為，

設(shè)內(nèi)心為I，可得A1I，I在截面的射影為等邊三角形A1BD的中心O，

可得OI，

由球的截面的性質(zhì)可得截面圓的半徑為，可得截面圓的面積為，故③正確．

故答案為：①②③．