Question

【題目】如圖1，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D為側棱PC上一點，它的正（主）視圖和側（左）視圖如圖2所示．
（1）證明：AD⊥BC；
（2）求三棱錐D﹣ABC的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，

又AC⊥BC，所以BC⊥平面PAC，

所以BC⊥AD

由三視圖可得，

在△PAC中，PA=AC=4，D為PC中點，

所以AD⊥PC，

所以AD⊥平面PBC

又因為BC面PBC，

故AD⊥BC

（2）解：由三視圖可得BC=4，

由（1）知∠ADC=90°，BC⊥平面PAC

又三棱錐D﹣ABC的體積即為三棱錐B﹣ADC的體積，

所以，所求三棱錐的體積

【解析】（1）先證明BC⊥平面PAC，再證明AD⊥平面PBC，進而可得AD⊥BC；（2）三棱錐D﹣ABC的體積即為三棱錐B﹣ADC的體積，進而得到答案．
【考點精析】認真審題，首先需要了解由三視圖求面積、體積(求體積的關鍵是求出底面積和高；求全面積的關鍵是求出各個側面的面積)．