Question

在平面直角坐標系中，已知定點A（－2，0）、B（2，0），異于A、B兩點的動點P滿足，其中k₁、k₂分別表示直線AP、BP的斜率．

（Ⅰ）求動點P的軌跡E的方程；

（Ⅱ）若N是直線x=2上異于點B的任意一點，直線AN與（I）中軌跡E交予點Q，設直線QB與以NB為直徑的圓的一個交點為M（異于點B），點C（1，0），求證：|CM|·|CN| 為定值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）先得到直線MN過定點C（1，0）

【解析】

試題分析：解:(Ⅰ)設,由得  ,其中,

整理得點的軌跡方程為.           

(Ⅱ)設點(),

設,則,,

從而.                             

而,直線斜率,

直線與以為直徑的圓的另一個交點為,.

方程為,即,過定點      

定值證法一:即三點共線,又是以為直徑的圓的切線,由切割線定理可知,,為定值.                    

定值證法二:直線:,直線:,  

聯立得,,

,為定值.

考點：橢圓的方程；直線與橢圓的位置關系

點評：關于曲線的大題，第一問一般是求出曲線的方程，第二問常與直線結合起來，當涉及到交點時，常用到根與系數的關系式：（）。