Question

在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)（1，0）為圓心，r為半徑作圓，依次與拋物線y²=x交于A、B、C、D四點(diǎn)，若AC與BD的交點(diǎn)F恰好為拋物線的焦點(diǎn)，則r=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線方程可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)過F的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理后，設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）根據(jù)韋達(dá)定理可求得x₁x₂的值，又根據(jù)圓的方程，可知x₁x₂=1-r²代入答案可得．

解答：解：易知焦點(diǎn)F坐標(biāo)（

1

4

，0），
設(shè)過F點(diǎn)直線方程為y=k（x-

1

4

）
代入拋物線方程，得 k²（x-

1

4

）²=4x．
化簡后為：k²x²-（

1

2

k²+）x+

1

16

k²=0．
設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
則有x₁x₂=

1

16

，
又以點(diǎn)（1，0）為圓心，r為半徑圓的方程為（x-1）²+y²-r²=0代入拋物線方程，得：x²-x+1-r²=0．
則有x₁x₂=1-r²，
∴1-r²=

1

16

，∴r=

15

4

，
故答案為：

15

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查拋物線的應(yīng)用和拋物線定義．對于過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線關(guān)系，常用方程思想來解決．