Question

（2012•朝陽區二模）已知函數f(x)=

3

sinxcosx-cos2x+m(m∈R)的圖象過點M（

π

12

，0）．
（1）求m的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若ccosB+bcosC=2acosB，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據二倍角的三角函數公式和輔助角公式，將函數y=f（x）化簡，得f（x）=sin（2x-

π

6

）-

1

2

+m，再將M點坐標代入，可得m=

1

2

；
（2）利用正弦定理，將ccosB+bcosC=2acosB化簡整理，得cosB=

1

2

，所以B=

π

3

．由此得到函數f（A）=sin（2A-

π

6

），其中A∈（0，

2π

3

），再結合正弦函數的圖象與性質，可得f（A）的取值范圍．

解答：解：（1）∵sinxcosx=

1

2

sin2x，cos²x=

1

2

（1+cos2x）
∴f(x)=

3

sinxcosx-cos2x+m=

3

2

sin2x-

1

2

（1+cos2x）+m
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-

1

2

+m=sin（2x-

π

6

）-

1

2

+m
∵函數y=fx）圖象過點M（

π

12

，0），
∴sin（2•

π

12

-

π

6

）-

1

2

+m=0，解之得m=

1

2

（2）∵ccosB+bcosC=2acosB，
∴結合正弦定理，得sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosB
∵B+C=π-A，得sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）=sin（π-A）=sinA
∴sinA=2sinAcosB
∵△ABC中，sinA＞0，∴cosB=

1

2

，得B=

π

3

由（1），得f（x）=sin（2x-

π

6

），
所以f（A）=sin（2A-

π

6

），其中A∈（0，

2π

3

）
∵-

π

6

＜2A-

π

6

＜

5π

6

，
∴sin（2A-

π

6

）＞sin（-

π

6

）=-

1

2

，sin（2A-

π

6

）≤sin

π

2

=1
因此f（A）的取值范圍是（-

1

2

，1]

點評：本題給出三角函數的表達式，在圖象經過已知點的情況下求參數m的值，在△ABC中研究f（A）的取值范圍，著重考查了二倍角的三角函數公式、正弦定理和三角函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．