Question

已知橢圓C₁的方程為

x2

4

+y²=1，雙曲線C₂的左、右焦點分別為C₁的左、右頂點，而C₂的左、右頂點分別是C₁的左、右焦點．
（Ⅰ）求雙曲線C₂的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+

2

與橢圓C₁及雙曲線C₂都恒有兩個不同的交點，且l與C₂的兩個交點A和B滿足

OA

•

OB

＜6（其中O為原點），求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出雙曲線的標準方程，然后結合橢圓的頂點與焦點易得雙曲線的焦點與頂點，即求得雙曲線的c與a，再由a²+b²=c²求得b²，則雙曲線方程解決；
（Ⅱ）把直線方程分別與橢圓方程、雙曲線方程聯立，不妨消y得x的方程，則它們均為一元二次方程且判別式大于零，由此得出k的取值范圍；再結合一元二次方程根與系數的關系用k的代數式表示出x_A+x_B，x_Ax_B，進而把

OA

•

OB

＜6轉化為k的不等式，求出k的又一取值范圍，最后求k的交集即可．

解答：解：（Ⅰ）設雙曲線C₂的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，則a²=4-1=3，再由a²+b²=c²得b²=1．
故C₂的方程為

x2

3

-y²=1．
（II）將y=kx+

2

代入

x2

4

+y²=1得（1+4k²）x²+8

2

kx+4=0
由直線l與橢圓C₁恒有兩個不同的交點得△1=(8

2

)2k2-16（1+4k²）=16（4k²-1）＞0，
即k²＞

1

4

①
將y=kx+

2

代入

x2

3

-y²=1得（1-3k²）x²-6

2

kx-9=0．
由直線l與雙曲線C₂恒有兩個不同的交點A，B得

1-3k2≠0 △2=(-6 2 k)2+36(1-3k2)=36(1-k2)＞0.

即k²≠

1

3

且k²＜1．②
設A（x_A，y_A）B（x_B，y_B），則x_A+x_B=

6 2 k

1-3k2

，x_A•x_B=

-9

1-3k2

．
由

OA

•

OB

＜6得x_Ax_B+y_Ay_B＜6，
而x_Ax_B+y_Ay_B=x_Ax_B+（kx_A+

2

）（kx_B+

2

）
=（k²+1）x_Ax_B+

2

（x_A+x_B）+2
=（k²+1）•

-9

1-3k2

+

2

k•

6 2 k

1-3k2

+2
=

3k2+7

3k2-1

．
于是

3k2+7

3k2-1

＜6，即

15k2-13

3k2-1

＞0．
解此不等式得k²＞

13

15

或k²＜

1

3

．③
由①、②、③得

1

4

＜k²＜或

13

15

＜k²＜1．
故k的取值范圍為（-1，-

13 15

）∪（-

3

3

，-

1

2

）∪（

1

2

，

3

3

）∪（

13 15

，1）．

點評：本題考查雙曲線的標準方程以及直線和圓錐曲線的位置關系，綜合性強，字母運算能力是一大考驗．